Función sobreyectiva: definición, propiedades, ejemplos (2023)

Una función sobreyectiva es toda relación donde cada elemento perteneciente al codominio es imagen de al menos un elemento del dominio. También conocidas como función sobre, son parte de la clasificación de funciones con respecto a la forma en que se relacionan sus elementos.

Por ejemplo una función F : A B definida por F ( x ) = 2x

Lo cual se lee “F que va de A hasta B definida por F ( x ) = 2x”

Toca definir los conjuntos de partida y llegada A y B.

A : { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } Ahora los valores o imágenes que arrojarán cada uno de estos elementos al ser evaluados en F, serán los elementos del codominio.

F ( 1 ) = 2

F ( 2 ) = 4

F ( 3 ) = 6

F ( 4 ) = 8

F ( 5 ) = 10

Formando así el conjunto B : { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 }

(Video) FUNCIÓN SOBREYECTIVA teoría y ejemplos paso a paso | Profe Lisseth

Se puede concluir entonces que:

F : { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 } definida por F ( x ) = 2x Es una función sobreyectiva

Cada elemento del codominio, debe resultar de al menos una operación de la variable independiente a través de la función en cuestión. No existe limitante de imágenes, un elemento del codominio puede ser imagen de más de un elemento del dominio y seguirse tratando de una función sobreyectiva.

En la imagen se muestran 2 ejemplos con funciones sobreyectivas.

Función sobreyectiva: definición, propiedades, ejemplos (1)

En la primera se observa que las imágenes pueden ser referidas de un mismo elemento, sin esto comprometer la sobreyectividad de la función.

En la segunda vemos una distribución equitativa entre dominio e imágenes. Esto da pie a la función biyectiva, donde se deben cumplir los criterios de función inyectivay función sobreyectiva.

Otro método para identificar a las funciones sobreyectivas, es verificar si el codominio es igual al rango de la función. Esto quiere decir que si el conjunto de llegada es igual a las imágenes que proporciona la función al evaluar la variable independiente, la función es sobreyectiva.

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Propiedades

Para considerar sobreyectiva a una función se debe cumplir lo siguiente:

Sea F : Df Cf

∀ b ℮ Cf E a ℮ Df / F ( a ) = b

(Video) funciones Inyectivas Sobreyectivas y Biyectivas

Esta es la manera algebraica para establecer que para todo “b” que pertenece a Cf existe un “a” que pertenece a Df tal que, la función F evaluada en “a” es igual a “b”.

La sobreyectividad es una particularidad de las funciones, donde el codominio y el rango son semejantes. Así, los elementos evaluados en la función componen el conjunto de llegada.

Condicionamiento de funciones

En ocasiones una función que no es sobreyectiva, puede someterse a ciertos condicionamientos. Estás nuevas condiciones pueden convertirla en una función sobreyectiva.

Son válidos todo tipo de modificaciones al dominio y codominio de la función, donde el objetico es cumplir las propiedades de sobreyectividad en la relación correspondiente.

Ejemplos: ejercicios resueltos

Para cumplir las condiciones de sobreyectividad se deben aplicar distintas técnicas de condicionamiento, esto con la finalidad de lograr que cada elemento del codominio esté dentro del conjunto de imágenes de la función.

Ejercicio 1

  • Sea la función F : R R definida por la recta F ( x ) = 8 – x

R : [ Todos los números reales ]

Función sobreyectiva: definición, propiedades, ejemplos (2)

En este caso la función describe una recta continua, la cual abarca todos los números reales tanto en su dominio como rango. Debido a que el rango de la función Rf es igual al codominio R se puede concluir que:

F : R R definida por la recta F ( x ) = 8 – x es una función sobreyectiva.

Esto aplica para todas las funciones lineales (Funciones cuyo mayor grado de la variable es uno).

Ejercicio 2

  • Estudiar la función F : R R definida por F ( x ) = x2 : Definir si es una función sobreyectiva. En caso de no serlo, muestre los condicionamientos necesarios para hacerla sobreyectiva.
Función sobreyectiva: definición, propiedades, ejemplos (3)

Lo primero a tener en cuenta es el codominio de F, el cual se compone de los números reales R. No existe forma de que la función arroje valor negativos, lo que excluye a los reales negativos de entre las posibles imágenes.

Condicionando el codominio al intervalo [ 0 , ]. Se evita dejar elementos del codominio sin relacionar a través de F.

(Video) Funciones suryectivas / sobreyectivas / Definición / Ejemplo 1

Las imágenes se repiten para pares de elementos de la variable independiente, como por ejemplo x = 1 y x = – 1. Pero esto solo afecta a la inyectividad de la función, no siendo un problema para este estudio.

De esta forma se puede concluir que:

F : R [ 0 , ∞) definida por F ( x ) = x2 Es una función sobreyectiva

Ejercicio 3

  • Definir las condiciones del codominio que harían sobreyectivas a las funciones

F : R R definida por F ( x ) = Sen ( x )

F : R R definida por F ( x ) = Cos ( x )

Función sobreyectiva: definición, propiedades, ejemplos (4)
Función sobreyectiva: definición, propiedades, ejemplos (5)

El comportamiento de las funciones trigonométricas es similar al de ondas, siendo muy común encontrar repeticiones de la variable dependiente entre las imágenes. También en la mayoría de los casos el rango de la función se ve limitado a uno o varios sectores de la recta real.

Este es el caso de las funciones Seno y Coseno. Donde sus valores fluctúan en el intervalo [ -1 , 1 ]. Dicho intervalo debe condicionar el codominio para lograr la sobreyectividad de la función.

F : R [ -1 , 1 ] definida por F ( x ) = Sen ( x ) Es una función sobreyectiva

F : R [ -1 , 1 ] definida por F ( x ) = Cos ( x ) Es una función sobreyectiva

Ejercicio 4

  • Estudiar la función

F : [ 0 , ∞) R definida por F ( x ) =± √x denote si se trata de una función sobreyectiva

Función sobreyectiva: definición, propiedades, ejemplos (6)

La función F ( x ) =± √x posee la particularidad que define 2 variables dependientes a cada valor de “ x “ . Es decir, el rango recibe 2 elementos por cada uno que se efectúa en el dominio. Se debe verificar un valor positivo y negativo para cada valor de “ x “.

(Video) 👩‍🏫 Cómo determinar si una FUNCIÓN es SOBREYECTIVA | Juliana la Profe

Al observar el conjunto de partida se nota que el dominio ya ha sido restringido, esto en pro de evitar las indeterminaciones producidas al evaluar un número negativo dentro de una raíz par.

Al verificar el rango de la función se nota que cada valor del codominio pertenece al rango.

De esta manera se puede concluir que:

F : [ 0 , ∞) R definida por F ( x ) =± √xEs una función sobreyectiva

Ejercicio 4

  • Estudiar la función F ( x ) = Ln x denote si se trata de una función sobreyectiva. Condicione los conjuntos de llegada y partida para adaptar la función a los criterios de sobreyectividad.
Función sobreyectiva: definición, propiedades, ejemplos (7)

Tal como se muestra en la gráfica la función F ( x ) = Ln xestá definida para los valores de “ x “ mayores que cero. Mientras los valores de “ y “ o las imágenes pueden tomar cualquier valor real.

De esta forma podemos restringir el dominio de F ( x ) = al intervalo ( 0 , )

Mientras el rango de la función se puede mantener como el conjunto de los números reales R.

Considerando esto se puede concluir que:

F : [ 0 , ∞) R definida por F ( x ) = Ln xEs una función sobreyectiva

Ejercicio 5

  • Estudiar la función valor absoluto F ( x ) = | x | y designar los conjuntos de llegada y partida que se ajunten a los criterios de sobreyectividad.
Función sobreyectiva: definición, propiedades, ejemplos (8)

El dominio de la función se cumple para todos los números reales R. De esta forma el único condicionamiento se debe realizar en el codominio, tomando en cuenta que la función valor absoluto solo toma valores positivos.

Se procede a establecer el codominio de la función igualándolo al rango de la misma

(Video) ¿Qué es una función sobreyectiva?

[ 0 , )

Ahora se puede concluir que:

F : [ 0 , ∞) R definida por F ( x ) = | x | Es una función sobreyectiva

Ejercicios propuestos

  1. Verificar si las siguientes funciones son sobreyectivas:
  • F : ( 0 , ∞) R definida por F ( x ) = Log ( x + 1 )
  • F : R R definida por F ( x ) = x3
  • F : R [ 1 ,∞) definida por F ( x ) = x2 + 1
  • [ 0 ,∞) R definida por F ( x ) = Log (2x + 3)
  • F : R R definida por F ( x ) = Sec x
  • F : R – { 0 } R definida por F ( x ) = 1 / x

Referencias

  1. Introduction to Logic and Critical Thinking. Merrilee H. Salmon. University of Pittsburgh
  2. Problems in Mathematical Analysis. Piotr Biler, Alfred Witkowski. University of Wroclaw. Poland.
  3. Elements of Abstract Analysis. Mícheál O’Searcoid PhD. Department of mathematics. University college Dublin, Beldfield, Dublind 4
  4. Introduction to Logic and to the Methodology of the Deductive Sciences. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University press.
  5. Principios de análisis matemático. Enrique Linés Escardó. Editorial Reverté S. A 1991. Barcelona España.

FAQs

¿Qué es la función sobreyectiva y ejemplos? ›

La función sobreyectiva implica que cada elemento del segundo conjunto es la imagen de, al menos, un elemento del primer conjunto. Esta función también se conoce como subyectiva, suryectiva, suprayectiva, epiyectiva o exhaustiva.

¿Cómo se determina si una función es sobreyectiva? ›

Una función es sobreyectiva si el recorrido de la función es igual al conjunto de llegada o codominio de la función. Una función f : A → B es biyectiva si todos los elementos de A tienen una única imagen en B y todo elemento de B es imagen de algún elemento de A.

¿Qué es función inyectiva sobreyectiva y biyectiva ejemplos? ›

En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

¿Qué es una función no inyectiva y no Suryectiva? ›

Dada una función f: A ® B, se dice que es suryectiva, si su codominio coincide con el conjunto de llegada. Dada una función f: A ® B, se dice que es inyectiva, si a elementos distintos del dominio le corresponden imágenes distintas.

¿Qué es una función sobreyectiva Wikipedia? ›

La función es sobreyectiva (en) si cada elemento del codominio es aplicado por al menos un elemento del dominio. (Es decir, la imagen y el codominio de la función son iguales).

¿Cuáles son los diferentes tipos de funciones? ›

Clases de funciones matemáticas
  • Funciones lineales.
  • Funciones cuadráticas.
  • Funciones con valor absoluto.
  • Funciones de proporcionalidad inversa.
  • Funciones Radicales.
  • Funciones exponenciales.
  • Funciones Logarítmicas.
  • Funciones Trigonométricas.

¿Qué diferencia hay entre una función inyectiva y sobreyectiva? ›

f:A B es una función inyectiva. Observa el diagrama 2, f:P Q no es inyectiva ya que a valores distintos de P le corresponden valores iguales de Q. Una función es Sobreyectiva si a todos los elementos del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de partida.

¿Qué es la definición de una función? ›

Una función es una relación o correspondencia entre dos magnitudes, de manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda (o ninguno), que llamamos imagen o transformado. A la función se le suele designar por f y a la imagen por f(x), siendo x la variable independiente.

¿Cuáles son las características de la función biyectiva? ›

Una función “f” es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. Otra definición es la siguiente: una función es biyectiva si cada elemento del conjunto de partida tiene una imagen distinta en el conjunto de llegada, y cada elemento del conjunto de llegada corresponde a un elemento del conjunto de partida.

¿Cuándo es una función inyectiva? ›

Una función es inyectiva si a cada elemento “a” del dominio le corresponde un valor distinto “b” en el recorrido de la función, es decir todos los elementos pertenecientes al dominio de la función tienen imágenes diferentes.

¿Cómo se gráfica una función inyectiva? ›

La definición formal de función inyectiva es la siguiente: f: X -> Y es inyectiva solamente si para los elementos del conjunto X a y b se cumple que f(a) es igual a f(b) cuando a es igual a b. Dicho de otra manera, también la función es inyectiva si cuando los elementos son diferentes, también lo son sus imágenes.

¿Qué quiere decir R -> R? ›

Una función f : R → R se dice que es par si para cada x se cumple que f(−x) = f(x). Ge- ométricamente, ésto significa que la gráfica de f es simétrica respecto del eje de ordenadas. Una función f : R → R se dice que es impar si para cada x se cumple que f(−x) = −f(x).

¿Cuáles son las propiedades de la función? ›

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN es el conjunto de los valores que puede tomar la variable independiente, es decir, aquellos valores para los que la función está definida.

¿Cómo sacar la grafica de una función lineal? ›

La grafica de una función lineal es una línea recta en un sistema de coordenadas cartesianas. Son siempre funciones del tipo Y=(polinomio de primer grado), es decir, y=ax+b o más usado: y=mx+n donde m es lapendiente y n es el punto de interseccion en el eje y.

¿Cómo se resuelve una ecuación algebraica? ›

Esto consiste en dejar la variable a un lado del igual y un número al otro lado, así: Para lograr resolver una ecuación o despejar una variable, usarás dos pasos, principalmente. Simplificar cada expresión de ambos lados de la ecuación. Usar números opuestos o inversos para cancelar valores.

¿Cuando una aplicación lineal es suprayectiva? ›

Una aplicación inyectiva “crea una copia” de A dentro de B. Se dice que una aplicación es suprayectiva (o sobreyectiva) si todos los elementos del conjunto final B han sido utilizados. Se dice que una aplicación es biyectiva si es a la vez inyectiva y suprayectiva.

¿Cómo se pueden representar las funciones ejemplos? ›

La función, que se suele denotar por y = f(x), asocia a cada valor de x un único valor de y. Recuerda que los valores de la variable x se representan en el eje horizontal (de abscisas) y que los valores de la variable y se representan en el eje vertical (de ordenadas).

¿Cuáles son los elementos que componen una función? ›

Los dos principales elementos de una función son los posibles valores que pueden tomar ambas variables (dependiente e independiente). Se llama Dominio de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente.

¿Cómo se clasifican las funciones algebraicas? ›

Las funciones se clasifican en: · Algebraicas y trascendentes. · Continuas y discontinuas. · Crecientes y decrecientes.

¿Cuál es la representacion gráfica de una función afin? ›

Una función afín es aquella cuya expresión algebraica es del tipo y = mx + n, siendo m y n números distintos de 0. Su gráfica es una línea recta. El número m es la pendiente.

¿Qué es el dominio y rango de una función? ›

El dominio de una función es el conjunto de objetos a los que la función asigna valores. El rango es el conjunto de valores obtenidos.

¿Cuáles son las funciones que tienen inversa? ›

Funciones inversas, en el sentido más amplio, son funciones que hacen lo "contrario" de cada una. Por ejemplo, si f convierte a en b, entonces la inversa debe convertir b en a.

¿Cuál es la imagen de una función? ›

Se llama imagen o recorrido de una función, y se designa Im f, a todos los valores de la variable dependiente que tienen algún valor de la variable independiente que se transforma en él por la función.

¿Cuál es la letra para identificar una función? ›

También puedes llamar a esta función “f” (de función). Si pones x en la caja, sale f(x). Hablando matemáticamente, x es la entrada o la “variable independiente,” y f(x) es la salida o la “variable dependiente,” porque depende del valor de x.

¿Qué es la representación sagital? ›

Los diagramas sagitales son gráficos para representar relaciones y consiste en curvas cerradas que relacionan los elementos del conjunto de partida y conjunto de llegada mediante flechas.

¿Qué es una función lineal constante? ›

Una función constante es una función lineal por la cual el rango no cambia sin importar cual miembro del dominio es usado. para cualquier x 1 y x 2 en el dominio. Con una función constante, para cualesquiera dos puntos en el intervalo, un cambio en x resulta en un cambio en cero en f ( x ).

¿Cómo se lee F A -> B? ›

Toda función f : A → B es una relación; cabe preguntarse si la relación inversa es una función. En general la respuesta es negativa.

¿Cuál es la importancia de las funciones? ›

Uno de los conceptos más importantes en Matemáticas es el de función, ya que se puede aplicar en numerosas situaciones de la vida cotidiana, y determinar las relaciones que existen entre magnitudes tanto en Matemáticas, Físicas, Economía, etc., y poder calcular el valor de una de ellas en función de otras de las que ...

¿Cómo determina cuándo es una función y cuando no? ›

Cuando una recta vertical se coloca sobre la gráfica de esta relación, intersecta la gráfica en más de un punto de los valores de x. Si la gráfica muestra dos o más intersecciones con la recta vertical, entonces una entrada (coordenada x) puede tener más de una salida (coordenada y) y y no es una función de x.

¿Cómo es la gráfica de una ecuación cuadrática? ›

Representación de una ecuación de segundo grado

La gráfica de una ecuación de segundo grado es una parábola. Ésto quiere decir que si representamos en el plano la función y=ax 2+bx+c tendremos una parábola con la coordenada x del vértice en -b/2a.

¿Cuál es la tabla de valores? ›

Una tabla de valores es una representación de datos, mediante pares ordenados, que expresan la relación existente entre dos magnitudes o dos situaciones. La siguiente tabla nos muestra la variación del precio de las patatas, según el número de kilogramos que compremos.

¿Qué es la matemática Wikipedia? ›

La matemática​ (del latín mathematĭca, y este del griego μαθηματικά, transliterado como mathēmatiká, derivado de μάθημα, tr. máthēma. 'conocimiento') es una ciencia formal que surgió del estudio de las figuras geométricas y la aritmética con números.

¿Qué es el dominio y el rango? ›

El dominio de una función es el conjunto de objetos a los que la función asigna valores. El rango es el conjunto de valores obtenidos.

Videos

1. Propiedades de las funciones inyectiva, sobreyectiva y biyectiva
(ROBIMATH - Matemáticas con el profe Robinson)
2. Función Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva - Ejercicios Resueltos
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Author: Manual Maggio

Last Updated: 12/30/2022

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